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  • 机器学习15种常用数学符号!

    这三天复现一个论文实验结果不正确,一直找不到原因,后来发现是自己把当成了如果你到现在搞不懂这两个符号的区别,这问题就跟学英语记不住周一到周日的正确拼写一样严重,那么就非常有必要花3分钟跟着这篇文章复习一遍。

    这篇文章的主要内容来自_Mathematical Notation: A Guide for Engineers and Scientists by Edward R. Scheinerman_ ,基本包括了机器学习中大部分常见数学符号。


    ‍‍‍‍‍‍‍

    1. 变量名约定 

    s– 斜体小写字母用做标量 (例如一个数字)

    x– 粗体小写字母用做向量 (例如一个2D点)

    A– 粗体大写字母用做矩阵 (例如一个3D变换)

    θ– 斜体小写希腊字母用做常量和特殊变量 (例如惩罚项的权重)

    2. 等号

    =表示相等 (值相同)

    表示不相等 (值不同)

    表示约等于 (π ≈ 3.14159

    :=表示定义 (A 被定义为 B)

    3. 平方根与复数

    一个平方根运算是这种形式:

    也可以有多次平方运算

    复数是形式的表达式, 其中是实数部分,是虚数部分。虚数的定义为

    4. 点与叉

    ·和叉×符号根据上下文的不同有不同的用法,下面我们分开讨论:

    1. 标量乘法:

    两个符号都可以表示简单的标量之间的乘法。下边的写法意思相同

    对于非常数的标量我们可以省略符号

    2. 向量乘法:

    表示向量和标量之间相乘,或两向量的逐元素相乘,我们不用点·或叉×符号,一般使用空心点来表示

    有时作者可能会显式定义一个不同的符号,例如圆中点或实心圈

    3. 点乘:

    点符号·可用来表示两向量之间的点乘。由于其值是一个标量,通常被叫做标量积(scalar product)。

    4. 叉乘:

    叉乘符号×可以用来表示两向量的叉乘,由于其值是一个向量,又叫做向量积。

    5. 西格玛(sigma)

    大写希腊字母Σ(Sigma) 用来表示总和, 换句话说就是对一些数字求和。

    这里,i=1是说从1西格玛上边的数字100为止。这些分别为上下边界。”E” 右边的_i_告诉我们求和的是什么。注意这里的范围上下都是闭区间。

    6. 大写Pi

    大写 Pi 或“大Pi”与sigma非常接近, 不同的是我们用乘法取得一系列数字的乘积。

    7. 管道(pipes)

    管道符号,就是竖线,根据上下文不同,可以表示不同意思。下边的是3种常见用途,绝对值、模长和行列式。

    这3种特性都是描述对象的长度(length)

    1. 绝对值

    对于数字x,|x|表示x的绝对值。

    2. 欧几里得模长(Euclidean norm)

    对于向量v‖v‖v的欧几里得模长,在机器学习中被称作2范数(2-norm),计算方法是向量每个元素的平方根的和再开方。

    通常用双竖线表示来避免与_绝对值_ 符号混淆,但有些时候也会看见单竖线。

    一般的如果右下角加一个数字,表示k阶范数,什么都不加默认2范数

    如果右上角加一个数字就代表范数的k次方。

    3. 行列式

    对于一个矩阵,对于一个矩阵A|A|表示矩阵A的行列式,也可以表示它的1范数,这两个值不相同,需要根据上下文考虑。

    8. 帽子

    在几何里,字母上的 “帽子” 符号用来表示一个单位向量。例如,这是向量a的单位向量。

    9. 属于

    集合理论中,“属于”符号可以被用来描述某物是否为集合中的一个元素。例如:

    这里我们有一个数字集A{ 3, 9, 14 }而且我们说3是“属于”这个集合的,一般我们使用花括号表示集合。

    10. 常见数字集合

    全体实数集合描述_实数(real numbers)_的集合。他们包括整数,有理数,无理数。

    有理数集合(rational numbers)是可以被表示为分数,或比率(类似)的实数。有理数不能以0作分母。这意味着所有的整数都是有理数,因为可以看成分母为1。换句话说无理数就是不能表示为比率的数,例如 π (PI)。

    整数(integers)是没有小数部分的实数。可为正也可以为负。

    自然数(natural numbers)自然数是正整数或非负整数。取决于所学领域和上下文,集合中可能包含也可能不包含0,所以可以是下边任意一种集合。

    复数是实数与虚数的组合,被视为2D平面上的一个坐标。

    11. 撇号(prime)

    撇号 () 通常用在变量名上,用来描述某物很类似,而不用另起个名来描述它。也可以描述经过一些变换后的“下一个值”。

    对于一个函数,撇号通常描述为函数的导函数(derivative)。

    使用多个撇号可以用来表示 二阶导函数(derivative)_ƒ′′_或 三阶导函数(derivative)ƒ′′′,之后更高的数字,一般作者会用罗马数字或上标数字表示。

    12. 向下取整和向上取整(floor & ceiling)

    ⌊x⌋⌈x⌉这种特殊的括号分别用来表示floor和ceil函数。

    记住下取整是地板(floor) 那两个小横线在下面,得到的是小的值。

    向上取整是天花板(ceiling)那两个小横线在上面,得到的是大的值。

    13. 箭头

    优势被用作表示蕴涵(material implication)逻辑。意思是如果A是true,那么B也是true。箭头可以是左右任何方向⇐⇒,也可以双向。当_A ⇒ B_并且_B ⇒ A_,就是他们是相等的A⇔B。

    通常用来表示明显(significant)不相等。k≫j也可以表示k的数量级大于j。

    与(conjunction)和 或(disjunction)分别表示逻辑与或操作,类似于程序员的ANDOR操作。

    14. 逻辑非(logical negation)

    有时候,¬,~!符号都用来表示逻辑NOT。例如,只有在A为false的时候,¬A为true。

    15.  区间

    有时函数会处理被一些值限定范围的实数,这样的约束可以用区间(interval)来表示。

    例如我们可以表示0和1之间的数,让他们包含或不包含0和1:

    • 不包含0或1 —– (0, 1)
    • 包含0但不包含1 —– [0, 1)
    • 不包含0但包含1 —– (0, 1]
    • 包含0和1 —– [0, 1]
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