线性回归算法

1.线性回归算法简介

线性回归是利用数理统计中回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,运用十分广泛。其表达形式为y = w’x+e,e为误差服从均值为0的正态分布。

  回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。

  本文主要介绍线性回归算法的演绎推导,关于线性回归的详细介绍请参阅线性回归在百度百科中的介绍

2.最小二乘法

重点介绍最小二乘法线性回归算法:LinearRegression。

在介绍LinearRegression算法之前,首先要明白为什么要进行线性回归?我们对数据进行线性回归的目的是想要得到输入与输出之间的线性关系,从而可以得到数据内在规律,以便对事物接下来的发展有所判断。输出的向量与输入之间可以用向量表达式表示:

在向量表达式中,输入特征与输出特征之间的关系可以是一对一,亦可以是多对一。即输出是唯一的。不同的回归系数值得到的线性关系的准确度是不一样的。而为了得到回归系数,需要定义三个函数:损失函数、极小化损失函数的优化方法、验证算法。损失函数的不同,损失函数的优化方法的不同,验证方法的不同,就形成了不同的线性回归算法。

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢? 监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面…

   对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

        (1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最小二乘法(ordinary least squares,简称OLS)的核心就是保证所有数据偏差的平方和最小(“平方”的在古时侯的称谓为“二乘”)。
 如果有一个变量,我们用直线拟合一些点,直线方是y’=ax+b,每点偏差是y-y’,其中y是实际值,y’是估计值。sum((y-y’)2)最小时,直线拟合最好。上试代入y’,可得M=sum((y-(ax+b))2),对它求导取极值。此时,x,y是已知的,未知的是a和b,所以分别求M对a和b的偏导,解出的a,b即回归系数,记作W。线性回归就是计算参数W的过程。有了W,就能将Y表示成多属性的加权线性组合。
 假设有两个变量(多元回归)y’=w0+w1x1+w2x2,就变成了一个三维的问题,同样也用误差平方最小的方法M=sum((y’-(w0+w1x1+w2x2))^2),M对w0,w1,w2的偏导为0处是极值,然后解出w0,w1,w2。更多元的情况见下面的公式推导。
 预测时,用回归系数乘以输入值,再将结果加在一起就得到了预测值,一般用矩阵乘法实现。

2) 公式推导
 通过矩阵运算求解回归系数的W={w0,w1,w2…}

特此声明-转自:
https://www.cnblogs.com/wangkundentisy/p/7505487.html

https://blog.csdn.net/wfengzi5/article/details/83239686

表白专用: 浪漫
/**
*2017—02-14,
*2019-06-28.
*/
Boy name = Mr 大爱
Girl name = Mrs 你呀
// Fall in love river.
The boy love the girl;
// They love each other.
The girl loved the boy;
// AS time goes on.
The boy can not be separated the girl;
// At the same time.
The girl can not be separated the boy;
// Both wind and snow all over the sky.
// Whether on foot or 5 kilometers.
The boy very happy ;
The girl is also very happy ;
// Whether it is right now
// Still in the distant future.
The boy has but one dream;
// The boy wants the girl could well have been happy.


I want to say:
Baby, I love you forever;
亲爱的,这是我们相爱在一起的时光。
爱你直到永永远远。
– 白先生
2+

Comments ( 4 )

  1. Reply小立先生
    源代码在哪呢(⊙o⊙)!,请站主发下源代码?
    • Replymyyuan
      源代码加群领取即可
  2. Reply彩虹
    写的不错,继续加油。
    • Replymyyuan
      Thanks

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